FRACTALES

¿Qué es un fractal?

El padre de los fractales es Benoît Mandelbrot. Él los bautizó con el nombre de Fractales.
A la pregunta ¿qué es un fractal? un matemático suele contestar con una definición matemática, usualmente inaccesible para el público general. Por ello, Mandelbrot sugiere no dar definición sino fijarse en las propiedades de los fractales.
Se pueden destacar dos propiedades de las figuras fractales:
Autosimilitud
Una figura geométrica es autosímil, si al ver una de sus partes con lupa reconocemos la forma de toda la figura de nuevo.

La región en el cuadrado rojo es una copia pequeña de toda la figura. Por lo tanto, la figura se repite en sí misma una y otra vez.
Dimensión quebrada
Las líneas rectas y el área de un triángulo son figuras geométricas que tienen una dimensión entera: 1 y 2. Los fractales se comportan de manera diferente: son "más que línea" y al mismo tiempo "menos que área", o "más que puntos" y al mismo tiempo "menos que línea", por eso se dice que su dimensión es quebrada o no entera. En la siguiente imagen es realmente difícil decir si la figura se parece más a una línea o a un área:

Definición matemática
La definición de Mandelbrot es:
Un fractal es una figura cuya dimensión topológica es menor que su dimensión fractal.
Esto no explica nada si no sabemos qué es la dimensión topológica o la dimensión fractal. En la dimensión fractal podrás ver cómo se llega del concepto intuitivo de dimensión a una formulación más elaborada.
La curva final
En la introducción se presentó el fractal como una curva que se obtiene después de muchos pasos de iteración.
La curva de nivel 1
La curva de nivel 2
La curva de nivel 3
Aquí se pretende ser más preciso: La curva fractal es la curva al final de toda esta serie de curvas. Para entender mejor esto hagamos una analogía con números:
La sucesión
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
no se aproxima a algún número, porque crece y crece y no hay un número al final. Ahora abservemos las siguientes series:
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ...
Estas se comportan de manera diferente. La primera, en la medida que avanza, se aproxima cada vez más al 1. También crece y crece al avanzar, pero nunca rebasa el 1, se aproxima al 1 tanto como queramos. La segunda en cambio se aproxima al 0. Por lo tanto se dice que 1 es el número al final de la primera serie y el 0 el número al final de la segunda serie.
Ahora veamos una sucesión de curvas
La curva 1
La curva 2
La curva 3
La curva 4
La curva 5
La curva 6
Al avanzar en la serie, las curvas se acercan cada vez más a las esquinas. De manera que la figura roja es la curva al final de la sucesión.
La curva final
Todas las curvas
A la derecha se observan todas las curvas junto con la curva final. Notamos que cada curva en la sucesión es "redonda", es decir no tiene esquinas, pero la curva al final sí tiene. Hay un brinco cuando pasamos de la sucesión al final de ésta. Esto no es tan sorprendente, si notamos que también en la sucesión de números 1/1, 1/2, 1/3 hay un cambio: cada número es mayor que cero, pero el número al final no lo es.
Ahora ya no nos debe sorprender que la curva al final de la sucesión de arriba es:
La curva de nivel 1
La curva de nivel 2
La curva final
y que tiene unas propiedades extrañas. Una parte suya es, al ampliar por un factor tres, igual a toda la figura. Esto no sucede con las curvas en la sucesión: si ampliamos una parte por un factor tres obtenemos la curva anterior en la sucesión.
Al ampliar una parte se obtiene la misma curva de nuevo
Al ampliar una parte se obtiene la curva anterior en la sucesión
Por último observemos un caso donde la curva final llena todo un cuadrado. La sucesión es la siguiente:
La curva 1
La curva 2
La curva 3
La curva 4
La curva 5
La curva 6
En cada paso en la sucesión se tiene que dibujar 4 copias de la curva anterior a una escala 1/2, dos de estas copias van arriba, una abajo a la izquierda volteada 90 grados en dirección del reloj y la cuarta abajo a la derecha, volteada al revés. Estas cuatro partes hay que unirlas para obtener la siguiente curva en la sucesión.
La curva al final pasa por cada punto del cuadrado completo, pero por algunos puntos pasa más que una vez. El primero que construyó una curva así fue Giuseppe Peano, pero su construcción no era geométrica. La sucesión de curvas que se ve aquí es de David Hilbert. Por ello, curvas que llenan toda un área completa se llaman hoy curvas de Peano o curvas de Hilbert. En el simulador de fractales se encuentran varias curvas de Peano.
Fractales en la naturaleza
En esta sección podrás observar algunas imágenes que muestran la existencia de fractales en la naturaleza. La forma que adquieren plantas, sierras montañosas y costas son ejemplos del fenómeno de autosimilitud que caracteriza los fractales.

Helecho
En los helechos se puede apreciar la autosimilitud: una hojita que sale del tallo tiene la forma de un helecho completo, sólo su tamaño es menor.

La imagen se tomó de la siguiente página:

http://cyber.law.harvard.edu/eon/eon_right2.html


Copo de nieve

Los copos de nieve también son fractales. La curva de Koch es un fractal que aparenta un copo de nieve perfecto si se pone tres veces sobre un triángulo equilátero.


La imagen se tomó de la siguiente página:

http://www.snowcrystals.net/


Coliflor

En esta imagen de una coliflor se puede reconocer la autosimilitud, pues una sola rama tiene la forma de toda la verdura.


La imagen se tomó de la siguiente página:

http://www.cosmopolis.com/df/cauliflower.html


Milenrama

Tanto en las hojas como en las flores de esta singular planta podemos observar el fenómeno de autosimilitud.


La imagen se tomó de la siguiente página:

http://www.folk.de/kraeuterhexe/pflanzen/schafgarbe.htm


Montañas

Las montañas también son superficies fractales. Su dimensión fractal es mayor que 2.


La imagen se tomó de la siguiente página:

http://online.wdr.de/online/eiszeit/tagebuch/elbrus2501.phtml


Costas

Las costas son fractales particularmente interesantes. En ¿Cómo medir una costa? se puede leer más acerca de este fenónomeno.


La imagen se tomó de la siguiente página:

http://www.calspace.com/faciliti.htm
La dimensión fractal
En realidad existe más de una dimensión fractal, que en la mayoría de los casos dan el mismo resultado. Aquí definiremos sólo dos de ellas.
Primera definición (intuitiva)
La dimensión es el número de coordenadas para describir la ubicación de un punto en la figura:
Una línea tiene dimensión uno: basta dar la distancia de uno de sus extremos para fijar un punto en ella. Esto se usa en las carreteras: se toma como referencia una ciudad (es decir un punto extremo de la línea) y se ponen señales que nos indican la distancia a la que nos encontramos de esa ciudad.


Un rectángulo tiene dimensión dos: Para ubicar un punto en el recta, basta con dar las distancias de dos de sus lados. Esto se usa en ciudades donde las calles forman una rejilla para ubicar lugares específicos. Por ejemplo, "nos vemos en el cruce de la calle 56 Oeste con la 5ª Avenida".

Una esfera también es una figura geométrica de dos dimensiones. En la tierra se da longitud y latitud para ubicar una posición exacta: la ciudad de México tiene latitud 19.24 Norte y longitud 99.09 Oeste.
Un cubo, una esfera o un cilindro tienen tres dimensiones: hay que dar la altura y luego dos coordenadas para ubicar el punto a esta altura.

Esta definición intuitiva no es del todo satisfactoria. Vimos en la curva final que hay curvas que llenan un área completa y por lo tanto una "coordenada" es suficiente para indicar la posición de un punto en un cuadrado. Esto preocupó a los matemáticos y por ello hicieron varios esfuerzos para mejorar la definición. Describimos uno de estos esfuerzos en la dimensión topológica.
La dimensión fractal
Para medir el área de una figura como la mancha azul de abajo se puede usar el siguinte método: se cubre la figura con cuadrados de lado r y se cuenta el número de cuadrados necesarios.
En nuestro ejemplo se necesitaron 72 cuadrados para cubrir la figura azul. Los cuadrados cubren un área de 72*r^2, mostrada en gris y azul. El área gris muestra la diferencia entre el área de la figura azul y 72*r^2.Al usar cuadrados más chicos podemos reducir el área gris: la diferencia (el error) entre el área de la figura y el área medida con los cuadrados. Necesitaremos más cuadrados, digamos N y el área cubierta por los cuadrados será N * r^2.En conclusión: el valor de N * r^2 se aproxima al área de la figura azul si reducimos el lado del cuadrado r hacia cero.
Usaremos este método para medir el área de un segmento. Has leido bien: área y no longitud. Deberíamos obtener que el segmento no tiene área, es decir que su área es cero.
Si el segmento azul tiene una longitud L necesitaremos al menos N = L / r cuadrados de lado r para cubrirlo completamente. Para ser precisos: N es el primer número entero que es igual o más grande que L / r (en general L / r no va a ser un número entero y no tiene sentido decir "Necesitamos 8.3 cuadrados", pero si L / r = 8.3 entonces necesitaremos 9 cuadrados).Por ello obtenemos que N es menor que L / r + 1 y el área cubierta por los cuadrados es menor que ((L / r) + 1) * r^2 = L * r + r^2.Pero L * r + r^2 se aproxima a cero si acercamos r a cero. Por lo tanto calculamos que el área del segmento es cero, lo que esperabamos.
Podemos modificar el cálculo: observemos que si multiplicamos el número N por r y luego acercamos N a cero entonces N * r se acerca a L, la logitud del segmento. En otras palabras: podemos calcular la longitud del segmento usando este mismo método, sólo que consideramos la expresión N * r en vez de N * r^2 cuando r se acerca a cero.
De la misma manera podrímos calcular la longitud de la mancha de arriba. Para ello tendríamos que observar qué pasa con el valor de N * r si acercamos r a cero. No es díficil ver que N * r rebasa cualquier número finito, en otras palabras: N * r "se aproxima a infinito", la longitud de la mancha es infinita.
Calculamos ahora longitud y área de un fractal:
Resulta que tiene una longitud infinita pero un área cero. Resumimos:

Longitud
Area

Dimensión
Se mide con:
N * r
N * r^2


Mancha
infinita
finita, pero no cero

2
Segmento
finita pero no cero
cero

1
Fractal
infinita
cero

?
El truco consiste en considerar el comportamiento de N * r^D cuando acercamos r a cero para diferentes x. Podemos medir el "contenido" de un segmento (su longitud) si consideramos D = 1 y podemos medir el "contenido" de la mancha (su área) si consideramos D = 2.En el ejemplo de la curva de Koch (el fractal de arriba) obtenemos que para D = 1.2618 la expresión N * r^D se aproxima a un valor positivo no cero. Por ello, el contenido de la curva de Koch se puede medir en la dimensión D = 1.2618.
La dimensión de similitud
La dimensión fractal es difícil de calcular. En los ejemplos que provee el simulador de fractales, los fractales son "autosímiles", es decir, una parte de él es una copia de la figura entera a una escala mayor. Esto puede ser utilizado para calcular la dimensión de similitud, que en muchos casos da el valor correcto para la dimensión fractal.
Tomamos de nuevo la curva de Koch. La podemos dividir en 4 partes iguales a toda la figura, a una escala 1/3.
Si medimos la longitud L(a) de la curva con un compás de abertura a y lo comparamos con la longitud L(a/3) que obtenemos si medimos con una tercia de abertura, obtenemos
L(a) = 4/3 * L(a/3)
Cada vez que medimos con una precisión tres veces mayor, obtenemos que la longitud se multiplica por 4/3. La ecuación tiene como solución: L(x) = a^x con x = log 4 /log 3 - 1 = 1.2618 - 1 = D - 1 (D la dimensión fractal de la curva de Koch).
En conclusión: para calcular la dimensión de similitud hay que calcular
log N / log e
donde N es el número de partes similares y e el factor escala (cuántas veces hay que ampliar cada parte para obtener toda la figura). Si hay partes a diferente escala el cálculo es un poco más complicado.
La dimensión de similtud indica bien la dimensión fractal si en el fractal no hay intersecciones, es decir puntos por donde pase el fractal más de una vez.